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アクチュアリー数学の知られざる参考書『基本確率』の第5章〜第8章の例と演習問題の解説

2024年6月7日

アクチュアリー数学で有益な本のため過去問での出題歴が多数ある『基本確率 (経済の情報と数理 2)』のメインの部分を解説します。本記事は期待値周辺の話題を扱います。

基本確率 (経済の情報と数理 2)』に関する記事は4部構成となっています。本記事は第3部になります。

第1部:第1章と第2章(確率の出し方)
第2部:第3章と第4章(ベイズの定理)
第3部:第5章〜第8章(確率分布総論)
第4部:第9章と第10章(条件付き分布と極限理論)

基本確率の第5章の例

確率変数
確率変数
クーポン問題
クーポン問題
二項分布

二項分布についてはこちらの記事で詳しく解説しています!

二項分布
ポアソン近似

ポアソン分布についてはこちらに詳しい解説があります!

ポアソン分布
ポアソン分布
ファーストサクセス分布

ファーストサクセス分布はこちらに別記事があります!

コイン投げの問題
超幾何分布

超幾何分布についてはこちらに説明があります!

負の二項分布

負の二項分布関連はこちらで詳しく説明しています!

バナッハのマッチ箱の問題
負の二項分布

基本確率第5章の演習問題

余事象の確率
ポアソン近似
ポアソン分布
第5章最難問
超幾何分布
じゃんけん
負の二項分布

基本確率の第6章の例

正規化定数
解釈が複数ある問題
指数分布

指数分布に関する別記事はこちらです!

正規分布
正規分布

正規分布に関する詳しい説明はこちらです!

正規近似
平方変換
変数変換
分布関数

基本確率第6章の演習問題

待ち時間
指数分布
正規近似
正規近似
変数変換

基本確率の第7章の例

ベルヌーイ分布

ベルヌーイ分布に関する説明はこちらです!

二項分布
ポアソン分布
ファーストサクセス分布
超幾何分布
負の二項分布
出生率
パレート最適点

とても難しい問題なので複数に分けます。上の最後の式を☆と置いておきます。

パレート最適点の性質
パレート最適点

本記事におけるもっとも難しい確率分布です。以降の問題にたびたび登場します。

しっぽ確率(テイル確率)

確率変数Xが非負整数値をとるときに成立する公式です。

期待値がしっぽ確率で表現できるのは不思議です!

クーポン問題
クーポン問題
一様分布

一様分布に関する別記事はこちらです!

指数分布
ガンマ分布

ガンマ分布に関する詳しい説明をこちらでしております。

正規分布
n次モーメント
駐車場問題

アクチュアリー数学の過去問で大問として出題歴があります。

基本確率 (経済の情報と数理 2)』を参考にしたことはほぼ間違いないですね!笑

正規分布
二項分布
ポアソン分布
一様分布
ガンマ分布
二項分布
ポアソン分布
ガンマ分布
正規分布
パレート最適点

基本確率第7章の演習問題

待ち時間
漸化式
サンクトペテルブルクのパラドックス
お弁当問題

何問です。当事者からみた期待値の金額について考えて立式しました。

しっぽ確率の連続バージョン

確率変数Xが非負なのは離散バージョンのタイプと共通事項ですね。

第7章最難問

とても難しい問題です。(1)の式変形は結論部分の式から辿っていくことによって道筋が見えました。

チェビシェフの不等式
コイン投げの問題

基本確率の第8章の例

結合確率分布関数

結合「確率分布」関数で意味が切れます。

分布関数と書いてるので「あれ」と思いました。

周辺密度関数
周辺密度関数
正規分布
夫婦のペア問題
ソックスのペア問題
誕生日問題
物件問題
クーポン問題
クーポン問題
ビュフォンの針
変数変換
和の公式
ミスプリント問題
2次方程式が実数解を持つ確率

アクチュアリー数学でまったく同じ問題が出題されています。

最小値の分布
レコード問題
共分散
期待値と分散
最大値の分布

パラメータ1の指数分布を考える際は、本問の結果に意味を持たせることができます。

モーメント母関数
モーメント母関数
モーメント母関数

基本確率第8章の演習問題

バス停問題
期待値を取るタイプ

初見では難しい問題です。本章でたびたび登場する確率変数の分解の考え方を用います。

再検査の問題

確率変数をどのように分解するのかが難しく感じました。

三角分布
一様分布

答えが50%だと思っていたので結構、驚いています!

二項分布

かなり込み入った設定です。最後の式は分散の公式を連想できれば通過できます!

期待値が与えられてなくても答えが出る良問

今回は『基本確率 (経済の情報と数理 2)』のメインの部分となる期待値周辺の話題を解説しました。ところどころ実生活に使えそうな問題があったとは思いませんか?

待ち時間の問題とか面白かったです。でも私的には面積が0.5以下になる確率を求める問題で高すぎる結果となったことに衝撃を受けました。次回の第4部も楽しみにしています!

基本確率 (経済の情報と数理 2)』はアクチュアリー数学対策としても確率の読み物としても素晴らしい本です。本書を片手に次回も一緒に頑張りましょう!

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志田龍太郎

東京大学修士→30代セミFIRE元数学教諭(麻布高など指導)/アクチュアリー数学,統計検定1級(2024年に再挑戦)/数検1級→高3・漢検1級→教諭時代に合格/ブログ+SNS運営/AmazonAssociates連携

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