本記事では漸化式の問題を解説します。アクチュアリー数学の中では比較的パターン化されている分野となります。ただし破産の確率などの知識問題も出題されます。本記事にて効率の良い学習をしていきましょう。
『アクチュアリー試験 合格へのストラテジー 数学 第2版』は合格に必須の公式が掲載されている唯一の参考書です。お手元に置いて本記事をご覧くだされば学習効率が上がります。
リセット型
このタイプは方程式の問題に帰着されますが、難しい場合は無限級数の問題として処理しましょう。方程式の立式はリセットの考え方が基本です。
実はここ最近『基本確率 (経済の情報と数理 2)』からの出題が目立ちます。平成中盤は本書から同じ問題が大問２の確率の問いで出題されている傾向がありました。近年でもアレンジはされていますが本書をネタとした問題が多々見受けられます。
昭和62年度数学Ⅰ問１（４）コイン
平成3年度数学Ⅰ問１（５）巴戦
初戦でAが勝つか負けるかで２通りの場合分けがあります。
平成6年度問１（１）リセットの区切り
平成18年度問２：サッカー
繰り返しがあることに気づけるか？の問題です。今後小問集合で出題される可能性があります。結局最後は確率0.5で公平なゲームだと判明します。
平成21年度問１（１）２元型
記号の設定法を覚えてしまいましょう。
２項間漸化式
２次元ランダムウォーク
n秒後の原点からの蟻の位置の期待値は、半径ルートnの同心円上以下という興味深い結論になりました。
３項間漸化式（破産の確率）
平成7年度問３：等確率の意味
公式を覚えましょう！2023年度の最新の問題でも出題されています。ただし近年は「これは破産の確率だ」とわからないように問題が作られています。
漸化式の立式は初めにAが勝って破産する場合と、初回で負けて破産する場合の３項間漸化式となります。初期条件は所持金が０円の時は確率１で破産し、所持金が全額の場合は確率０で破産します。両者の確率が等しい場合は、所持金が多い方が破産しにくいという直感的な結果となっています。例えばAが２円でBが３円持っていたとき、Aが破産する確率は0.6となります。これはAの方がBより少ない所持金であるためです。
平成22年度問１（１）ランダムウォーク
破産の確率の応用では簡単な方です。
2023年度問４：ポーカー
とにかく処理量が多い問題です。序盤から難しいですね。そして最後のは破産の確率です。
僕はその直前の時点で「以後は捨てよう」と諦めてしまいましたが、実際はもっと点が取れたであろう大問構成でした。
アクチュアリー数学ではこのようなことが頻繁に起きます。ザッと問題文全体に目を通しておくことが大事です。
３項間漸化式（破産の確率以外）
平成4年度数学Ⅰ問４：表が続けて２回出ない
４項間以上の漸化式
平成21年度問２：負の二項分布の一般化
解答の図が書けること、そして最後の期待値についての洞察が必要な良問です。
平成26年度問２：尻尾確率
最後の計算がとても難しいです。本番で出たら飛ばした方が良いです。また尻尾確率を用いた期待値や分散の計算は以来未出です。（2024年11月現在）そのため大事な問題となります。
連立漸化式
平成3年度数学Ⅰ問２：立方体
n＝０では成立しない連立漸化式です。そのため遡る際はn＝１までに注意しましょう。すなわち対称性が成り立つのがn≧１のときです。
平成24年度問２：０に戻すルール
問題文の誘導に乗れない時は１つの目の画像の解答のように図式化することが大事です。そこから見えてくる情報に助けられることがあります。
平成26年度問１（２）玉取り
素朴な設定ですが嵌ると解けません。確率和１に気づけるか？が勝負です。
2022年問１（１）最初の問題の最難関
問１（１）からこのような問題が出てきたら心折れそうです。とにかく処理量が多い問題で歴代の問１（１）で最難関です。
期待値の漸化式
平成14年度問３：蜘蛛問題
（小問がなければ）初見では絶対に解けない問題ですが、教科書に掲載されても良いような教育的良問ですので第１問（１）で出ても不思議ではないです。
平成17年度問３：飛越禁止
見かけよりも立式は簡単な問題です。ある意味ファーストサクセス分布の応用問題かも知れません。
平成25年度問２：期待値の連立漸化式（最難関）
期待値の漸化式が前半部から登場しているので難問です。ただし問題設定は素晴らしい良問です。ただし最後の最後の漸化式を解く部分がとても難しいです。本番では捨てないと時間切れになります。
実はここ最近『基本確率 (経済の情報と数理 2)』からの出題が目立ちます。平成中盤は本書から同じ問題が大問２の確率の問いで出題されている傾向がありました。近年でもアレンジはされていますが本書をネタとした問題が多々見受けられます。
漸化式は問題が解きやすいと得点源になる分野です。過去問＋上記の本を片手に乗り切りましょう！！
